$\frac{x^{2} - 5 x + 2}{3 x^{2} + x}$ রাশিটি
i. এর যে কোন মানের জন্য বীজগাণিতীয় ভগ্নাংশ
ii. x = -1 এর জন্য অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
iii. প্রকৃত ভগ্নাংশ হবে যদি x² + 3x > 1 হয়
নিচের কোনটি সঠিক?

Created: 2 years ago | Updated: 8 months ago

Updated: 8 months ago

ক

i ও ii
খ

i ও iii
গ

ii ও iii
ঘ

i, ii ও iii

672

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশিটি হলো: $\frac{x^2 - 5x + 2}{3x^2 + x}$

বীজগাণিতিক ভগ্নাংশের প্রকৃতি নির্ধারণের জন্য আমাদের কিছু সংজ্ঞা জানতে হবে:

বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ (Algebraic Fraction): যে ভগ্নাংশের লব ও হর উভয়ই বীজগাণিতিক রাশি, তাকে বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ বলে।
প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction): যদি কোনো বীজগাণিতিক ভগ্নাংশের লবের সর্বোচ্চ ঘাত (degree) হরের সর্বোচ্চ ঘাত অপেক্ষা ছোট হয়, তবে তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction): যদি কোনো বীজগাণিতিক ভগ্নাংশের লবের সর্বোচ্চ ঘাত হরের সর্বোচ্চ ঘাত অপেক্ষা বড় বা সমান হয়, তবে তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

এখন, প্রদত্ত বিবৃতিগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

বিবৃতি i: এর যে কোন মানের জন্য বীজগাণিতীয় ভগ্নাংশ

প্রদত্ত রাশি $\frac{x^2 - 5x + 2}{3x^2 + x}$ এর লব ($x^2 - 5x + 2$) এবং হর ($3x^2 + x$) উভয়ই বীজগাণিতিক রাশি। তাই, সংজ্ঞা অনুযায়ী এটি একটি বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ। এই বিবৃতিটি সত্য, তবে $x$ এর যে সকল মানের জন্য হর শূন্য ($3x^2 + x = 0$) হয়, সেই মানগুলো বাদ দিয়ে। ক্লাস 8 এর প্রেক্ষাপটে এই ধরনের শর্ত সাধারণত অন্তর্নিহিত ধরা হয়।

বিবৃতি ii: x = -1 এর জন্য অপ্রকৃত ভগ্নাংশ

প্রদত্ত ভগ্নাংশে,

লবের সর্বোচ্চ ঘাত = 2 (কারণ, $x^2$ পদ আছে)
হরের সর্বোচ্চ ঘাত = 2 (কারণ, $3x^2$ পদ আছে)

যেহেতু লবের সর্বোচ্চ ঘাত এবং হরের সর্বোচ্চ ঘাত সমান (উভয়ই 2), তাই সংজ্ঞা অনুযায়ী এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। এটি $x$ এর যেকোনো বৈধ মানের (যেখানে হর শূন্য নয়) জন্য অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। $x = -1$ এর জন্য হর $3(-1)^2 + (-1) = 3 - 1 = 2 \neq 0$। সুতরাং, $x = -1$ এর জন্য রাশিটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। এই বিবৃতিটি সত্য।

বিবৃতি iii: প্রকৃত ভগ্নাংশ হবে যদি $x^2 + 3x > 1$ হয়

কোনো বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ প্রকৃত না অপ্রকৃত তা নির্ভর করে লব ও হরের সর্বোচ্চ ঘাতের ওপর। এক্ষেত্রে লবের সর্বোচ্চ ঘাত (2) এবং হরের সর্বোচ্চ ঘাত (2) সমান। তাই এটি সবসময় একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। $x^2 + 3x > 1$ এই শর্তটি ভগ্নাংশটির সংখ্যাগত মানকে প্রভাবিত করে, কিন্তু লব ও হরের ঘাতকে পরিবর্তন করে না। তাই এই শর্তের ওপর ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ হবে না। এই বিবৃতিটি মিথ্যা।

উপসংহার:

বিবৃতি i এবং ii সঠিক, কিন্তু বিবৃতি iii ভুল।